Предельный переход под знаком несобственного интеграла

Несобственные интегралы , зависящие от параметра

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Основные теоремы. Предельный переход под знаком интеграла. Теорема 1 (о непрерывности интеграла с параметром). Если функция f(x,y). из [1] о предельном переходе под знаком интеграла Колмогорова к интегралам соединением несобственных интервалов и полуинтервалов. Под. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. По теореме о предельном переходе для определенного интеграла, зависящего от параметра, lim n = n. Тогда интегрирование под знаком интеграла возможно.

Ясно, что признак Дирихле может быть применен к интегралам вида f, g d, f g, d.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Оценим частные интегралы от функции 2 f: По признаку Дирихле, интеграл сходится равномерно. Функция f непрерывна по, интеграл f, d сходится равномерно на множестве Y ; 2. Семейство функций g равномерно ограничено, существует непрерывная по частная производная g, и знакопостоянная при Y и д. Введем константу K g, обозначение для F, см. Снова интегрируем по частям отрезок интеграла: Тогда для правой части равенства можно записать: Ясно, что признак Абеля может быть применен к интегралам вида f, g d, f g, d.

В первом случае требуется ограниченность функции g, непрерывность и знакопостоянство ее обыкновенной производной.

математический-анализ / Предельный переход под знаком интеграла / Математика

Во втором непрерывность функции f и сходимость интеграла f d. Интеграл от функции f сходится.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Из неотрицательности переменных, следует, что g, семейство функций ограничено. По признаку Абеля, интеграл I сходится равномерно.

Научный форум dxdy

Связь теорий несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра, и функциональных рядов. Знание этой связи значительно упрощает доказательство дальнейших утверждений, относящихся к несобственным интегралам, зависящим от параметра, сводя их к известным фактам теории функциональных рядов. По определению Гейне, достаточно изучать случаи всех последовательностей Введем обозначение: Если же при всех и д. Свойства несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра.

Пусть f, g. Пусть функция f, определена и непрерывна по в полуполосе [, ;,d ] ; при любом семейство функций f, g при равномерно относительно на каждом отрезке [,] ; интеграл f, d сходится равномерно относительно параметра [, d ]. Тогда интеграл g d сходится и можно переходить к пределу под знаком интеграла. Пусть функция f, определена и непрерывна в полуполосе [, ;, d ] ; интеграл f, d сходится равномерно относительно параметра [, d ].

Интегралы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы с параметром

Тогда интеграл I непрерывен. По теореме 2 для определенного интеграла, функции n непрерывны. По теореме 2 для функционального ряда, его сумма I непрерывна. При выполнении условий теоремы 2 можно менять порядок повторного интегрирования. Доказательство утверждения основано на теоремах об интегрировании определенного интеграла, зависящего от параметра, и функционального ряда.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Пусть функция f, определена и непрерывна по в полуполосе [, ;, d ] ; частная производная f, непрерывна; интеграл f, d сходится; интеграл f, d сходится равномерно. Тогда интегрирование под знаком интеграла. Доказательство основано на теоремах о дифференцировании определенного интеграла, зависящего от параметра, и функционального ряда.

Приведенные теоремы используются, в частности, при вычислении определенных и несобственных интегралов, зависящих и не зависящих от параметра. Поскольку найти непосредственно интеграл довольно сложно, попробуем найти его производную.

Интегралы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы с параметром

Для этого поместим произвольный фиксированный параметр в отрезок [,d ], d. Проверим выполнение условий теоремы 4. Заменив в определении е на и соответственно выбрав д, возьмем теперь два значения у и у?

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Тогда будем иметь, каково бы ни было х, f x,y? Если упомянутое условие выполнено, то прежде всего ясно существование предельной функции 2. Переходя затем к пределу в неравенстве 4 при у?

Этим установлено равномерное стремление функции f x,y к предельной функции ц х. Тогда стремление это необходимо будет равномерным относительно х в промежутке Х. Интегрируемость предельной функции уже известна. Формула 9 может быть записана в виде: При наличии ее говорят, что предельный переход по параметру допустим под знаком интеграла.

Если функция при постоянном у непрерывна по х в [a,b] и при возрастании у стремится к непрерывной же предельной функции, монотонно возрастая, то справедлива формула 9.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Если функция определена и непрерывна как функция от двух переменных в прямоугольнике [a,b;c,d], то интеграл 1 будет непрерывной функцией от параметра у в промежутке [c,d].